“A entrega dos vales ficou a cargo de...”, ou “A entrega dos vales ficaram a cargo de...”

O correto é “A entrega dos vales ficou a cargo de...” A forma verbal “ficou” concorda com o núcleo do sujeito “entrega”.

Há, sem dúvida, casos em que o verbo pode concordar indiferentemente com o núcleo do sujeito, ou com o especificador, como ocorre em “A maioria dos alunos viajou durante as férias” (concordando com “maioria”), ou “A maioria dos alunos viajaram durante as férias” (concordando com “alunos”). Mas isso só acontece quando o núcleo do sujeito é uma palavra ou expressão coletiva, como “a maioria”, “grande parte de”, “uma multidão de”.

No caso apresentado pela ouvinte, o núcleo do sujeito (entrega) não é palavra coletiva. Assim, apesar de termos uma especificação no plural (dos vales), o verbo deve ficar no singular, concordando com “a entrega”.